Se A é uma matriz m × n, então ATA e AAT têm os mesmos autovalores diferentes de zero … Portanto, Ax é um autovetor de AAT correspondente ao autovalor λ. Um argumento análogo pode ser usado para mostrar que todo autovalor diferente de zero de AAT é um autovalor de ATA, completando assim a prova.
Os autovalores de AAT e ATA são iguais?
As matrizes AAT e ATA têm os mesmos autovalores diferentes de zero. A seção 6.5 mostrou que os autovetores dessas matrizes simétricas são ortogonais.
ATA é igual a AAT?
Como AAT e ATA são simétricas reais, podem ser diagonalizadas com matrizes ortogonais. Segue da afirmação anterior (uma vez que as multiplicidades geométricas e algébricas coincidem) que AAT e ATA têm os mesmos autovalores.
O ATA tem autovalores distintos?
Verdadeiro. Por exemplo, se A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , então a equação característica det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 não tem raiz repetida. Portanto todos os autovalores de A são distintos e A é diagonalizável. 3.35 Para qualquer matriz real A, AtA é sempre diagonalizável.
Podem diferentes autovetores ter o mesmo autovalor?
Dois autovetores distintos correspondentes ao mesmo Autovalor são sempre linearmente dependentes. Dois autovetores distintos correspondentes ao mesmo autovalor são sempre linearmente dependentes.
