Prova por indução que transposição de uma matriz não altera seu determinante.
O que acontece com o determinante quando a matriz é transposta?
O determinante da transposta de uma matriz quadrada é igual ao determinante da matriz, ou seja, |At|=|A| … Então seu determinante é 0. Mas o posto de uma matriz é o mesmo que o posto de sua transposta, então At tem posto menor que n e seu determinante também é 0.
A inversão de uma matriz altera o determinante?
Sustenta que det(AB)=det(A)det(B), de modo que det(A)det(A−1)=1. Em outras palavras, uma matriz invertível tem (multiplicativamente) determinante invertível. (Se você trabalhar sobre um campo, isso significa apenas que o determinante é diferente de zero.)
A troca de linhas altera o determinante?
Se adicionarmos uma linha (coluna) de A multiplicada por um escalar k a outra linha (coluna) de A, o determinante não mudará. Se trocarmos duas linhas (colunas) em A, o determinante mudará de sinal.
