Informalmente, um grupo é cíclico se for gerado por um único elemento. É abeliano se a multiplicação comuta. Um grupo é cíclico se pode ser gerado por um único elemento.
Um grupo abeliano é cíclico?
Todos os grupos cíclicos são abelianos, mas um grupo abeliano não é necessariamente cíclico. Todos os subgrupos de um grupo abeliano são normais. Em um grupo abeliano, cada elemento está em uma classe de conjugação por si só, e a tabela de caracteres envolve potências de um único elemento conhecido como gerador de grupo.
Como você prova que um grupo abeliano é cíclico?
Prova
- Seja G um grupo cíclico com um gerador g∈G. Ou seja, temos G=⟨g⟩ (todo elemento em G é alguma potência de g.)
- Seja a e b elementos arbitrários em G. Então existe n, m∈Z tal que a=gn e b=gm.
- Assim obtemos ab=ba para a, b∈G arbitrário. Assim G é um grupo abeliano.
Como você sabe se um grupo é cíclico?
4 Respostas. Um grupo finito é cíclico se, e somente se, tem precisamente um subgrupo de cada divisor de sua ordem. Então, se você encontrar dois subgrupos da mesma ordem, então o grupo não é cíclico, e isso pode ajudar algumas vezes.
O que é grupo cíclico explique com um exemplo?
Por exemplo, (Z/6Z)×={1, 5} , e como 6 é duas vezes um primo ímpar isso é um grupo cíclico. … Quando (Z/nZ)× é cíclico, seus geradores são chamados de raízes primitivas módulo n. Para um número primo p, o grupo (Z/pZ)× é sempre cíclico, consistindo nos elementos não nulos do corpo finito de ordem p.
